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第一 美妙的数学问题链（第2页）

在前面活动的基础上，同学们能迅速地猜想一个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。用数学的语言叙述一个命题对学生来说是困难的，我逐步引导学生叙述如下：

一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么c2=a2+b2。

我告诉学生这个猜想是正确的，后人称之为勾股定理。相传2500年以前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，从朋友家用砖铺成的地面中发现了直角三角形三边的这种数量关系。所以，西方把勾股定理也称作毕达哥拉斯定理。

在本次活动中，我从学生熟悉的情景出发，提出一系列问题让学生进行探究，从特殊到一般，从具体到抽象，逐步引导学生观察发现勾股定理，体会探究数学问题的一般方法，训练探究问题的能力。课堂上适当地介绍与勾股定理有关的一些传说故事，既可以活跃课堂气氛又可以提高学生的学习兴趣。

二奇妙的等式——是巧合吗？

在前面的活动中，我们发现了许多直角三角形的三边长满足如下奇妙的等式：c2=a2+b2，其中a，b为两直角边，c为斜边。这是一个巧合吗？是否对所有的直角三角形这个等式都成立呢？我提出问题后，许多同学立即陷入了沉思，部分同学尝试着对任意直角三角形重复前面的数学活动，在演算纸上写写画画，希望找到解决问题的方法。

我拿出一个课前准备好的直角三角形纸板（如图6所示），上面分别用a，b标记了两直角边，用c标记了斜边。然后，让学生仔细观察图5中的图案，并提出问题：

问题7：利用图5中的图案，你能证明图6中直角三角形三边之间的关系式c2=a2+b2这个猜想吗？

图6

图7

经过细心的观察，一部分同学能很快地发现解决问题的方法：用四个图6中的直角三角形拼成一个形状如图5的图案（如图7所示）。外围大正方形的面积为（a+b）2，中间小正方形的面积为c2，四个小直角三角形的面积之和为2ab。于是，我们有：

c2=（a+b）2-2ab=a2+b2。

这样便得到了我们要证的关系式。

为了加深同学们对这种方法的认识，我拿出我在课前准备的另外的三个直角三角形纸板，连同前面的一个直角三角形纸板，一共有四个，将其拼成图7的形状，并结合图案叙述前面的证明方法。

证明一个命题的正确性，是中学数学教学的一个难点，尤其是对初中阶段的学生。许多学生对抽象的演绎推理过程感到无所适从，更谈不上自己独立地去给出一个命题的证明。当他们发现用拼图的方法竟然能获得勾股定理的证明时，感到非常兴奋和好奇。我不失时机地提出如下问题，进一步激发学生探究问题的热情和积极性。

图8

问题8：除了上面的方法外，你还能找到勾股定理的其他证明方法吗？

学生自己独立思考，动手尝试，然后分小组讨论。我让每小组派学生代表到黑板前展示自己的结果。课上学生纷纷举手，补充完善图形的各种不同拼法，都想把自己的发现跟大家一同分享。绝大多数学生受图4的影响，对一般的直角三角形，由三边向外作三个正方形，通过证明两小正方形的面积之和等于大正方形的面积，从而得到勾股定理的证明。

例如，有的学生利用前面学过的三角形全等的知识以及同底等高的两个三角形面积相等的结论，直接证明两小正方形的面积之和等于大正方形的面积。具体地，他们过直角顶点向斜边作垂线，并延长与大正方形中斜边的对边相交，如图8所示。

由三角形和长方形的面积公式知，图8中三角形ABG的面积为正方形BCFG的面积的一半，三角形BCH的面积为长方形JKHB的面积的一半。不难证明，三角形ABG与三角形BCH全等，从而它们的面积相等。于是，正方形BCFG的面积与长方形JKHB的面积相等。类似可证，正方形ADEC的面积与长方形AJKI相等。而大正方形ABHI的面积等于长方形JKHB与AJKI的面积之和，从而等于两个小正方形BCFG与ADEC的面积之和。

图9

也有的学生采用对图形进行割补的方法。如图9所示，作大正方形ABHI关于AB对称的正方形ABJK，新正方形的边将两个小正方形BCFG与ACED分割成5个部分，分别标号为①～⑤。这五个部分恰好可无重叠地填入大正方形ABHI中，所以大正方形ABHI的面积等于小正方形BCFG与ACED的面积之和。

上述割补方法有一定的技巧性。事实上，由直角三角形的三边向外作正方形还是向里作正方形是无关紧要的。我引导学生思考：如果部分正方形向直角三角形这边作（正方形与直角三角形有重叠），则大正方形与两个小正方形就可能会有部分重叠，此时进行图形割补会不会简单些呢？在我的引导下，学生逐步得到了勾股定理的一种比较简便的拼图证法，见图10。为了增强学生的民族自豪感，我告诉学生，早在公元3世纪我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时就给出了这种拼图证法。

图10

此外，部分学生还提出了其他的证明方法，如用两个形状一样（即相似）的直角三角形的面积之间的关系。

图11

学生在这个数学活动中真正地体会了合作、互动研究问题的乐趣和成就感，并亲身感受了数学的美。我通过让学生积极参与数学学习活动，体验合作的愉快和成功的喜悦，激发他们学习与研究数学的兴趣。根据学生报告的情况，我适当地补充介绍勾股定理的其他有趣的证法。例如：公元3世纪，我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出下面的图形（见图11），人们称之为“赵爽弦图”。这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

“赵爽弦图”表明，四个相同的直角三角形（阴影）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形。它蕴涵了下面的关系式：大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即

c2=2ab+（b-a）2=a2+b2。

这就得到了勾股定理的证明。