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第一 美妙的数学问题链（第3页）

图12

又如，1876年美国总统加菲尔德（JamesA。Garfield）提出了勾股定理的如下拼图证法：用两个相同的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c）拼成如图12所示的直角梯形，中间是一个边长为c的等腰直角三角形。利用直角梯形的面积等于上下两个相同的直角三角形的面积与中间等腰直角三角形的面积之和，便可得到勾股定理的证明。

古往今来，无数数学爱好者被直角三角形中这个奇妙的等式所吸引，上至总统，下至平民老百姓。时至今天，勾股定理的证明方法已达数百种。通过告诉学生勾股定理的这些历史背景知识，让学生感受到数学的巨大魅力，提高学习数学的积极性。

三生活中的勾股定理——你知道吗？

在获得勾股定理的证明后，我选取一些生活中的问题让学生尝试着运用勾股定理解决，一方面加深学生对勾股定理的认识；另一方面培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。

问题9：售货员阿姨搞错了吗？

图13

小明妈妈买了一部29英寸（约74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽（如图13所示），他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

学生对来自于生活中的问题表现出了极大的兴趣，如果能将所学的数学知识应用于实际生活中，将在很大程度上提高他们学习数学的积极性。解决这个问题学生需要知道一个常识：我们日常生活中说电视机是多少寸的是指电视机的屏幕对角线的长度。当知道这个常识后，学生很快就明白了需要利用电视机屏幕的长和宽来计算其对角线的长度。由勾股定理知，

对角线长的平方=462+582=5480，

由此解得对角线长为√5480≈74。03。这表明，售货员阿姨没有搞错，小明妈妈买的电视机确确实实是29英寸的！

图14

能用所学知识解决生活中的问题，学生感到非常高兴，探究问题的兴趣也非常浓厚。为了进一步加深学生对勾股定理的认识，我继续提出了下面的问题：

问题10：你能够测量出旗杆的高度吗？

我们班学雷锋小组每天早上到学校操场擦拭国旗护栏，他们非常想知道旗杆的高度。胡青同学发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图14（a）所示，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图14（b）所示，你能帮他们求出旗杆的高度吗?

在解决问题的过程中，我根据学生能力的实际情况，逐步引导学生思考三角形ABC的形状，三边的含义以及数量关系，然后运用勾股定理得到关于旗杆高度h的方程。绝大多数学生能很快地根据题意回答出三角形ABC是直角三角形，直角边AB表示旗杆的高度，直角边BC表示绳子的下端拉开的距离，斜边AC表示绳子的长度，由题意知它比旗杆的高度多1米。如果设旗杆的高度为h米，则有AB=h，BC=5，AC=h+1。根据勾股定理知，

h2+52=（h+1）2，

由此可解得h=12（米）。

问题11：壁虎沿着哪条路线爬行的路程最短?最短路程是多少？

图15

如图15所示，在长5m、宽4m、高3m的库房的A处有一只壁虎，在库房的G处有一虫子。问壁虎到达虫子处的哪条爬行路线最短?最短路线的长是多少？

这也是生活中的一个数学例子，但解决它除了需要灵活运用勾股定理外，还需要运用一些常用的数学思想方法。例如，转化的思想。壁虎到达虫子处的爬行路线是一条空间曲线，但它总是沿着库房的地面或墙壁爬行，所以总可以将其展开成平面曲线。这样一来，原问题可转化为求连接平面上两点的最短路线问题。又如，分类讨论的思想。由于壁虎可沿不同的墙壁爬行，故爬行路线的展开方式及展开平面可能是不同的，这就需要分情形讨论。此外，还有对称的思想。壁虎的有些爬行路线虽然不同，但具有某种对称性，从而它们的路程是一样的，我们只需考察其中的一种路线即可。所以，解决这个例子不仅可以提高学生运用勾股定理解决问题的能力，还可以加深他们对转化、分类讨论、对称等常用数学思想方法的认识。

图16

具体地，由对称性我们只需考察壁虎的三种爬行路线，每一种爬行路线均可展成相应的平面曲线。我引导学生对其中一种路线（不妨为图16（a）所示的路线）作详细分析，其余两种路线的分析由学生独立完成。

设图16（a）中的黑粗线为壁虎的爬行路线，将平面DCGH绕DC顺时针旋转90度到DCG′H′位置，使其与平面ABCD重合。则爬行路线AG（黑粗线）变成了平面曲线AG′，它们有相同的长度。连接直线段AG′交DC于点M，再连接MG。由于连接A，G′两点的平面曲线中直线段最短，所以平面曲线AG′的长大于等于直线段AG′的长，从而爬行路线AG的长大于等于直线段AG′的长。根据勾股定理知，

容易检验，壁虎在平面ABCD内由A沿直线段AM爬行到M处，再在平面CDGH内由M沿直线段MG爬行到G处（如图16（a）中细实线所示），这条爬行路线的长恰好就是AG′的长，所以该路线在这种爬行方式中是最短的。利用勾股定理，学生可类似地计算出图16（b）、（c）中最短爬行路线的长分别为

经比较得，壁虎到达虫子处的最短爬行路线如图16（a）中的细实线所示，最短路线长为√74m。

通过上面生活中的一些例子，让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的实质。为了提高学生的兴趣，我们也可以选择一些有关勾股定理的一些历史数学名题作为例子。例如，我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：今有池方一丈，葭生中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深葭长各几何？这里丈、尺是我国过去使用的长度单位，1丈=10尺。尺与米的换算关系是1米=3尺。

这一系列提问将勾股定理的探索、证明与应用等环环相扣的教学内容紧密地贯穿起来，通过精心创设的问题情境，揭示事物的矛盾，引起学生认知冲突，激发学生的学习动力。

奇妙的勾股问题链，不仅循序渐进交织了不同思维含量的问题，活化了人类文明成果——勾股定理的多彩魅力，而且春风化雨般地沉淀为学生的认知结构和创新思维品质，并且给人以数学智慧和艺术美的享受。