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第一 美妙的数学问题链（第1页）

第一节美妙的数学问题链

北京师大二附中王丽萍

“学起源于思，思起源于疑”，课堂上教师有意识地设疑问、立障碍、布迷局、揭矛盾，就会使学生处于一种“心欲求而未得，口欲言而不能”的状态，从而激活学生的思维。

本节以《勾股定理》一节课的教学为例，介绍在课堂上如何通过数学问题链，引导学生开动脑筋、思考问题，逐步完成勾股定理的发现和证明过程，最后使学生能融会贯通地运用勾股定理解决一些简单的实际问题。

一善于观察——你也能发现数学定理

问题情境的创设，如何既抓住基本概念和基本原理，紧扣教学内容的中心、重点和难点，又充分考虑到学生当前的认知水平？学生在尝试解决问题的过程中，如何适当地加以引导，肯定学生自己独特的想法？这些在课堂设问中都需要未雨绸缪。

例如，在《勾股定理》一节课的教学过程中，为了引导学生发现勾股定理，我首先向学生展示一个常见的由瓷砖铺成的地面的图案（如图1所示），然后提出如下问题让学生思考：

问题1:观察下面的图案，你能从中发现每个小等腰直角三角形的三边有什么关系吗?

图1

图2

学生观察后，没有学生能够直接说出我想要的结果，但提出了三条边的其他的一些数量关系，有的有助于发现勾股定理，当然也有的与勾股定理没有太多的联系。例如，有的学生考察图2中的深灰色正方形后，发现该深灰色正方形的面积为等腰直角三角形斜边的平方，又为等腰直角三角形的面积的4倍，而等腰直角三角形的面积为直角边平方的12倍，由此得到等腰直角三角形斜边是直角边的2倍的结论。也有学生利用其他方式得到同样的结论，如直接由两个小等腰直角三角形拼成的大等腰三角形的面积。对于学生的这些有创意的想法，我都及时给予了肯定和鼓励。事实上，学生发现的这个事实蕴涵了等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，即勾股定理的一种特殊情形，但是这种想法不适合推导勾股定理的一般情形。

图3

在学生发表完自己的见解后，为了引导学生准确地回答上面的问题，我在图1中标出三个正方形（见图3），让学生注意我标出这三个正方形的过程（从小等腰直角三角形的三边开始，分别标出每个正方形的周线），然后让学生回答下面的问题。

问题2：同学们，从刚才我标出正方形的过程你能看出这三个正方形是怎样得到的吗？

同学们很快便回答出：“这三个正方形是由等腰直角三角形三边分别向外作的三个正方形。”肯定学生的回答后，紧接着我问学生：

问题3：这三个正方形的面积有什么关系呢？

学生从图3容易看出，两个小正方形是由两个相同的等腰直角三角形构成的，而大一点的正方形是由四个同样大小的等腰直角三角形构成的，所以立即回答说“大正方形的面积是小正方形面积的2倍”“大正方形的面积等于两个小正方形面积的和”。学生的思路在我的引导下越来越接近本节课的目标。

问题4：由这三个正方形的面积关系，你能推导出等腰直角三角形三边之间的关系吗？

为了回答这个问题，学生首先思考如何建立正方形的面积与等腰直角三角形边之间的联系。一个自然的考虑是用正方形的面积公式，即正方形的面积为其边长的平方。短暂的演算之后，有的学生回答说“等腰直角三角形斜边的平方为直角边的平方的2倍”，有的学生则回答说“等腰直角三角形斜边的平方为两直角边的平方的和”。我在肯定学生的回答的同时指出，这两个关系本质上是一样的，但前者依赖于等腰直角三角形两直角边相等的特征。

为了让学生发现勾股定理的一般情形，我进一步提出下面的问题：

问题5：对一般的直角三角形，三边长是否有类似的数量关系（即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和）呢？

有了前面的经历后，学生可以自己动手考察非等腰直角三角形三边之间的关系。也就是说，由非等腰直角三角形的三边分别向外作三个正方形，判断大正方形的面积是否等于两个小正方形的面积之和。很快学生便发现了困难，因为他们无法确定每个正方形的面积大小。我提示学生先考察一些特殊的非等腰直角三角形，如两直角边分别为单位长的整数倍的非等腰直角三角形。并且，为了便于计算每个正方形的面积，可将其放入一个正方形网格中，其中每个小正方形的边长为一个单位，然后通过数格子的方法确定每个正方形的面积。

我向学生展示一块课前准备好的纸板，上面画好了正方形网格。然后，我在上面标出一个直角三角形，两直角边分别为2和3（单位长），并由三边分别向外作正方形，分别记作正方形A，B和C（如图4所示）。请同学们考察正方形A，B和C的面积之间的关系。

事实证明，学生通过数格子的方法很容易得到正方形A和B的面积，分别为9和4平方单位，但部分学生在确定正方形C的面积时有困难。这时我引导他们观察图5，学生很快就发现了正方形C的面积可以通过大正方形的面积减去Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ四个相同的直角三角形的面积计算出来：每个直角三角形的面积为2×3÷2=3（平方单位），正方形C的面积为25-4×3=13（平方单位）。学生由此得到正方形A和B的面积之和为等于正方形C的面积，从而发现这个直角三角形两直角边的平方和也是等于斜边的平方，得到了与等腰直角三角形类似的结论。

需要指出的是，图5出现在这里的作用是双方面的，除了确定正方形C的面积之外，还有一个重要的作用就是可以用来证明勾股定理。教学时，我让学生欣赏图5的美，并认真观察图形的结构特点，为学生在后面通过拼图的方法获得勾股定理的证明作铺垫。

图4

图5

为了加深学生对直角三角形三边的规律的认识，我让同学们再试着检验其他的非等腰直角三角形，然后报告他们的发现。有了前面的经验，学生便很快完成了检验工作，并陆续报告说他们所检验的直角三角形均满足两直角边的平方和等于斜边的平方。时机成熟了，于是我进一步问学生：

问题6：通过上面的活动，你们猜想一下直角三角形的三边会有怎样的关系呢？你们能用数学的语言叙述这个关系吗？