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第44章 于星辰中铸剑（第3页）

“但这个思想，可以推广。”

他的笔尖，在PG（2，q）的那个q上，重重一点。

“如果，我们把这个q，换成别的数字呢？

比如，q=41？

一个素数？”

“PG（2，41）……它的点数是412+41+1=1723个！”简瑶倒吸一口凉气。

“没错，所以简单的射影平面不够。”

许燃的目光，变得如同黑洞般深邃，“我们需要更复杂的代数结构。

比如，用‘二次剩余’去定义‘相邻’关系。”

他开始在草稿纸上，写下一连串简瑶闻所未闻的概念。

【佩利图P（q）】

“这又是什么？”

简瑶感觉自己像个好奇宝宝，完全被许燃牵着鼻子走，但她心甘情愿。

“一个更纯粹的代数怪物。”

许燃的眼睛里闪着光。

“它的构造更简单粗暴。取一个素数q，并且要求q模4余1。”

“图的顶点，就是有限域GF（q）里的q个元素，从0到q-1。”

“两个顶点x和y之间有没有边，只看一件事。”

他顿了顿，用红笔重重写下两个字。

“‘差值’。”

“如果x-y是GF（q）里的‘二次剩余’，那么它们之间就有边。

如果不是，就没有。”

“二次剩余？”

这个词简瑶知道，就是指一个数在模q的意义下，能被写成另一个数的平方。

比如在模5的意义下，1和4就是二次剩余，因为1=12=42，4=22=32。

“对。”

许燃点头，“比如，我们首接攻击R（5，5）的下界，构造一个41阶的图。

取q=41，因为它是一个素数，且41=4*10+1。”

“我们构造佩利图P（41）。”

“它的顶点，就是0，1，2，。。。，40。”

“顶点2和顶点5之间有没有边？”许燃看向简瑶。

“5-2=3，我们需要判断3是不是模41的二次剩余……”简瑶迅速心算，却发现这并不容易。

“很难算，对吧？”

许燃笑了笑，“但数学的美妙在于，我们不需要一个一个去算。

高斯早就为我们铺好了路。”