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附录（第2页）

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。费马大定理是其中最著名的一个。

1950年前后，美国数学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得了关键性的突破。

1970年，巴克尔、费罗斯对含两个未知数的方程取得肯定结论。

1970年，苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下答案是否定的。

尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

（11）一般代数数域内的二次型论。

德国数学家哈塞和西格尔在20世纪20年代获得重要结果。20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新进展。

（12）类域的构成问题。

即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

（13）一般七次代数方程以二变量连续函数的组合求解的不可能性。

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x（a，b，c）。这一函数能否用二变量函数表示出来？此问题已接近解决。

1957年，苏联数学家阿诺尔德证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f（x1，x2，x3）可写成∑hi（ξi（x1，x2），x3）（i=1，…，9）形式，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f（x1，x2，x3）可写成∑hi（ξi1（x1）+ξi2（x2）+ξi3（x3））（i=1，…，7）形式这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。

1964年，维土斯金推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

（14）某些完备函数系的有限的证明。

即域K上的以x1，x2，…，xn为自变量的多项式fi（i=1，…，m），R为K［x1，…，xm］上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

（15）建立代数几何学的基础。

荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年在此方面有重大贡献，魏依1950年已解决。

（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第16个问题提供了新的途径。

（17）半正定形式的平方和表示。

实系数有理函数f（x1，…，xn）对任意数组（x1，…，xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

（18）用全等多面体构造空间。

德国数学家比贝尔巴赫1910年、莱因哈特1928年部分解决。

（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？

德国数学家伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基已解决。

（20）研究一般边值问题。

此问题进展迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续发展。

（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

此问题属于线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅做出了出色贡献。

（22）用自守函数将解析函数单值化。

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯对一个变量情形的解决使问题的研究获得重要突破。其他方面尚未解决。

（23）发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。