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三十一数字黑洞（第2页）

“还真挺好玩的，爸爸还有吗？”妞妞问。

“其实我们可以有许多的黑洞算法，不过数学家们总是喜欢一些看上去复杂一些的。下面这个就是数学家们经常研究的数字黑洞，因为它可能和数论上的一些难题有关。这就是自幂数黑洞。自幂数就是除了0和1的自然数中，各位上的数字取几次方之后相加，结果可以等于自己的数字。

“我们先说平方数，如果是两位数，比如ab，这就需要10×a+b=a2+b2，其中a和b是0到9的自然数，a不能为0。这个方程是有两个未知数的不定方程，只取整数解。简化一下有：

（10-a）×a=b×（b-1）。

“给a取值1～9，等式左边有值9，16，21，24，25，24，21，16，9。

“等式右边给b取值从0～9，有值0，0，2，6，12，20，30，42，56，72。

“两边不可能有整数解，也就是说两位的二次方自幂数不存在。我们还可以证明三位及更高的位数都不存在二次方自幂数。”

“噢，那三次自幂数是什么呀？”妞妞问道。

“除了0和1之外的自然数中，各位数字的立方之和与其本身相等的只有153、370、371和407，此四个数称为‘水仙花数’，你说美不美？”

“水仙花是很美的，是不是因为它只有四个花瓣呢？”妞妞问道。

“不是吧，水仙花有六个花瓣。爸爸觉得好像是因为水仙花有许多的3。比如，花瓣有两层每层3个花瓣，等等。不过总是因为觉得这些数字很美，人们才取一个花儿的名字，对不对？”妞妞心里有些异样的感觉，“数字可以很美吗？上次老师说要讲美丽的三角形的时候，我们都觉得老师很夸张。”

“数学恐怕是最美的科学了，慢慢你会领会得更深，我可以先给你讲讲这些数字的美丽之处。比如153吧，你看153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17。换句话说，它等于1至17间所有整数之和。”爸爸一边说，一边在纸上写下算式。

“153的魔力还远远不止这些。它可用另一种重要方式来表示：153=1+（1×2）+（1×2×3）+（1×2×3×4）+（1×2×3×4×5）。现代数学家会更简练地写出这一等式：153=1！+2！+3！+4！+5！如果一个数后面跟着一个感叹号，你就可以得到从1到该数本身所有整数的乘积，这种运算被称作求阶乘。”

妞妞听得非常认真，“哦，我们在前面用到过这样的乘法。153确实太美丽、太神奇了！”

爸爸微笑着接着说：“153=13+53+33，有的数学家就说153潜藏在每个含有因数3的数中。据说任意选取3的任何倍数，计算出其各位数字3次方之和，再计算出得数的各位数字3次方之和。就这样不断地算下去，就肯定可以得到153。让我们试试看。”

爸爸让妞妞选一个3的倍数，妞妞选了369，爸爸接着在纸上做了如下的计算。

369每一位的三次方为27，216，729，三位数之和为27+216+729=972。

972有和729+343+8=1080。

1080有和1+512=513。

513有和125+1+27=153。

“确实如此耶！”妞妞很兴奋，不过爸爸还是要求妞妞再出一个3的倍数试试，这次妞妞出了258。两个人有下面的运算。

258各位上数字的立方分别是8、125和512，其和为645。

再计算一轮，和为216+64+125=405。

再来一轮和为64+125=189。

再来一轮1+512+729=1242，继续往下还有

1+8+64+8=81，

512+1=513，

125+1+27=153，

1+125+27=153这就出不去了。

“看起来所有的3的倍数各位的立方和都能掉到153这个黑洞里面，中间过程中的每一个数都是3的倍数。”妞妞若有所思。

“是呀，405，189，1242都是3的倍数，这一点是可以根据3的倍数的特点来证明的。凡是类似的规律我们都需要多试试，而且在没有严格证明的前提下，还是别迷信的好。”

“爸爸说得很对，表扬爸爸一次！”妞妞又开始淘气。

爸爸微微笑笑说：“除了0和1，自然数中各位数字的四次方之和与其本身相等的只有三位1634、8208、9474，它们被称为‘玫瑰花数’。”

妞妞自己试了一下第一个数字，其各位的四次方之和为1+81+256+1296=1634，果然是一个黑洞。“这就是美丽的玫瑰花儿！”妞妞感叹道。

“最后各位数字的五次方之和与其本身相等的只有三位，分别是54748、92727、93084。它们被叫作‘五角星数’。更高位的数字计算就更加复杂，我们就不讲了。不过你注意到了吗？三次自幂数是三位数，四次自幂数是四位数，五次自幂数是五位数。”爸爸希望妞妞能从计算里面观察出更多的规律。

“那是不是几次自幂数就是几位数呢？”妞妞问。

“爸爸现在也不知道，从单位自然数的次方值的位数上看，好像是这样，不过需要更加严格的证明，你能试试吗？”爸爸又向妞妞提出了挑战。