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九斐波那契家的兔子Ⅱ（第1页）

九、斐波那契家的兔子（Ⅱ）

今天天气非常好，碧空如洗，微风吹拂。北京的秋天是她最美的季节。妞妞下午三点就回到了家里，因为今天是星期二，学校放学早，加上妞妞肚子里有好多的问题要问爸爸，等不到爸爸下班，书包一扔，妞妞就打通了爸爸的电话。

“爸爸，昨天的计算我做了5组10个数，真是神奇耶！确实等于第7个数的11倍。你是如何发现的呀？”

“爸爸并不是自己发现的，是爸爸学习别人的发现才知道的。现在，爸爸在上班，时间不会太多，不过我今天也可以早些回家，而且已经为你准备了今天的趣味数学话题了。”爸爸的声音里都带着微笑。

爸爸一回家，妞妞放下手头的作业，就要爸爸开始讲。

“我们还是先继续昨天的话题，说说兔子数列的特点吧。你看，它从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。比如，第六项是8，8×8=64，而8的前后两项是5和13，5×13=65，64刚好比65少1，这是偶数项。13×13=169，而8×21=168，169刚好比168多1。13是第七项，奇数项。”

妞妞试了21这个数，她写道：21×21=441，而13×34=442，441刚好比442少1！太神奇了！

爸爸接着说：“这实际上是很容易证明的，但是证明你可能还不能听懂，需要用到数列的数学表达式。

“如果设F（n）为该数列的第n项（n是自然数）。那么兔子数列可以写成如下形式：

F（1）=F（2）=1，

F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3）。

“显然这是一个线性递归数列。而经过一些简单的证明我们还有一个复杂得多，但是更加有用的通项的表达式：

“从这个表达式里面我们能看到最有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。”

妞妞有些皱眉头，“爸爸，我有些不明白。线性递归是什么呀？根号我都没学过！”

“好吧，线性递归简单说就是用数列本身项之间的关系来表达自己。前面说过的分形，就是递归最好的例子，自己和自己相似。”

爸爸想了想，让孩子明白递归函数有些困难，于是爸爸说：“递归的数学表达不明白也没关系。简单地说吧，用后边这个表达式可以很容易证明F（n）2和F（n-1）×F（n+1）之间的关系。”

妞妞还是摇头，“明天我来试试算一算吧。”

爸爸说：“那我们再说另外一个神奇的巧合吧。你知道杨辉三角吗？”说着，在一张纸上写下了以下数字。

“你看，”爸爸拿起笔，画了几条斜线，“它们的和刚好是兔子数列！”

“杨辉三角好像是多项式（a+b）n打开括号后的各个项的系数。这怎么也和兔子数列有关系呢？太不可思议了！”

爸爸点点头，心里暗暗高兴。这也是爸爸给孩子讲趣味数学的目的，希望这些奇妙的东西能够引起孩子对数学的兴趣，进而对知识、对学习产生兴趣。学习本来就应该是件有趣的事情。

“妞妞知道了一些兔子的数学了，现在爸爸要讲讲其他动物的数学才能怎么样？”

“动物还有数学才能？”妞妞不信。

“有哇！说不定有些方面比人类还强呐！”爸爸笑着说。

“知道吗？蜜蜂的蜂房是严格的正六边柱状体。它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109°28′，锐角为70°32′。经过科学家的计算，这样的设计既坚固又省料，是最优选择，而且蜂房的巢壁厚0。073毫米，精度都不是人类手工能达到的。”

“是吗？蜜蜂可真了不起。它们可没有量角器，也没有直尺啊！”妞妞心里想着那些忙碌的小小飞行精灵。

苍蝇的复眼显微图