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二十八美丽的雪花与恐怖的病毒（第2页）

设左图中共有F个面，分别是n1，n2，…，nF边形，顶点数为V，棱数为E，则n1+n2+…+nF=2E，这是因为每一条边都充当了两个多边形的边。

左图中，所有面的内角总和分为每个面计算为：

（n1-2）180°+（n2-2）180°+…+（nF-2）180°

=（n1+n2+…+nF-2F）180°

=（2E-2F）180°

=（E-F）360°。

右图中，尽管变形，但是角度总和不变，所有面的内角总和为：

V上·360°+（V下-2）180°+（V下-2）180°（剪掉的底面内角和）

=（V上+V上-2）360°=（V-2）360°。

（E-F）360°=（V-2）360°。

整理得V+F-E=2。

爸爸讲完了，拍拍手，满意地看着妞妞。

“对于更复杂一些的立方体，可以把它们切割成一个个这样的相对简单的形状来证明。不过要强调妞妞记住的是欧拉公式并非对任何多面体都成立。比如，一个正方体中挖去一个小的正方体，数一下就知道V-E+F=4。要是把小立方体上下都挖通，则V-E+F=0。实际上我们把立方体的V+F-E这个值叫作欧拉示性数，记为f（p）。只有简单凸多面体欧拉示性数f（p）=2，所以欧拉公式只是f（p）的一个特例和简化而已。”

妞妞有些困惑。爸爸看出来，接着往下说：“比如，在大正方体的一个表面中间粘贴一个小正方体，就形成了一个新的简单多面体，顶点数16，棱数24，面数11。欧拉公式也不成立，对不对？这是因为它凹进来了，明白吗？”

“那么欧拉公式到底在什么条件下才成立呢？”妞妞急切地问爸爸。

“经过许多数学家的研究，发现只要多面体是实心的（里面没有空洞），只有一个连续的凸外表面，并且这个表面可以变形成为球面，那么欧拉公式就成立。”“哦！原来如此。”妞妞松了一口气，心里想：这些东西看上去很简单，实际上好复杂。

“欧拉示性数是一个立体不管如何变形都会保持不变的一个值。比如，一个多面体，只有一个外表面，而且外表面可以变形为环面（和汽车轮内胎相似），那不管多面体如何变形，都有V-E+F=0。前面说到的正方体中挖去一个小的长方体，上下都挖通，就是这样的一个例子。”

“这就是橡皮几何啊！”妞妞记起来原来说过的东西。

“是啊，就是拓扑学研究的内容。”爸爸又想起来一些吓人的东西。“你知道很多病毒都是正二十边形吗？比如，SARS病毒、艾滋病毒。”

“啊！是吗？这么可怕！”当看见爸爸拿出来的照片的时候，妞妞惊讶得捂着嘴大声惊呼。

要说SARS病毒示意图还好，艾滋病毒的照片确实是很恐怖，一眼看上去冷不防会起一身鸡皮疙瘩。尤其是上面的绒毛状凸起，真是让人不寒而栗。

“哈哈，害怕了吧？美妙的正二十面体就藏在它们的身体里面。”爸爸声音故意放得很低沉，有些夸张的恐怖。“你知道世界上的正多面体只有5种吗？这或许就是两种病毒都长成正二十面体的理由哦！”

恐怖的艾滋病毒

“不可能吧！正多边形可以有任意多，正多面体只有五种？”妞妞明显是不信爸爸的话。

“爸爸说的是真的！早在两千年前的古希腊，柏拉图就发现了这个事实。爸爸证明给你看。”说着，爸爸一边说，一边开始写下如下的证明。

证明：对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有m个边相遇，顶点数为V，面数为F，边数为E。所有变量都是整数。这样就有：

n×F=2E（1）和m×V=2E（2）。

（1）的右边系数是2因为每边出现在2个面中，（2）的右边系数是2因为每边通过2个顶角。

把（1）和（2）代入欧拉公式V+F-E=2中，就得到：

显然n≥3，m≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。

但n＞3，且m＞3又是不可能的，因为那样就要有，